# ¿MAGIA? ¡NO, MATEMÁTICAS!

VERDADES DE PEROGRULLO

Vamos a explicar de dónde han salido las "recetas mágicas" del apartado anterior.

Para esto debemos reflexionar un poco sobre las p ropiedades de las igualdades, pues no debemos olvidar que una ecuación es una igualdad.

Estas propiedades son muy importantes y muy sencillitas de comprender.

1.-Si sumamos el mismo número (o la misma expresión) en los dos miembros de una igualdad, la igualdad permanece.

Ejemplo: 3 = 3 ¿verdad? y...¿3+5 = 3+5? ¡Pues claro!

Esto tan sencillo es lo que me dice esta propiedad.

2.- Si restamos el mismo número (o la misma expresión) en los dos miembros de una igualdad, la igualdad permanece.

Ejemplo: 7 = 7 ¿verdad? y...¿7–5 = 7–5? ¡Pues claro!

Esto tan sencillo es lo que me dice esta propiedad.

3.- Si multiplicamos por el mismo número los dos miembros de una igualdad, la igualdad permanece.

Ejemplo: 5 = 5 ¿verdad? y...¿5·8 = 5·8? ¡Pues claro!

Esto tan sencillo es lo que me dice esta propiedad.

4.- Si dividimos por el mismo número los dos miembros de una igualdad, la igualdad permanece.

Ejemplo: 6 = 6 ¿verdad? y...¿6:3 = 6:3? ¡Pues claro!

Esto tan sencillo es lo que me dice esta propiedad.

Ahora volvamos a las ecuaciones equivalentes....

Ecuaciones equivalentes

Las solución de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones que tienen la misma solución se denominan ecuaciones equivalentes.

Para obtener una ecuación equivalente a una dada se utilizan las siguientes propiedades de las igualdades:

a) Si sumamos o restamos un mismo número o una misma expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación obtenemos otra ecuación equivalente.

b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un mismo número diferente de cero obtenemos otra ecuación equivalente.

Por ejemplo, para obtener una ecuación equivalente a x+2=5 multiplicamos por 4 los dos miembros:

4(x+2)=4·5 → 4x+8=20

Fíjate en que la ecuación obtenida 4x+8=20 también tiene por solución 3.

Resolución de ecuaciones

Para Resolver una ecuación vamos a despejar la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de los miembros.

Observa como se procede para resolver la ecuación

7x - 2 =5x + 4

Me gustaría que desapareciera (5x) del segundo miembro, pues restamos 5x en los dos miembros de la igualdad

7X –2 –5X = 5X + 4 –5X

Si sumamos términos semejantes en cada miembro, parece que hemos pasado restando lo que estaba sumando (5x) y en el segundo miembro ha desaparecido (5x).

2x–2 = 4

Ahora me gustaría que desapareciera el (–2) del primer miembro, pues sumo 2 en los dos miembros de la ecuación:

2x–2+2=4+2

Si operamos parece que el 2 ha desaparecido en el primer miembro y aparece sumando en el segundo miembro.

¡¡¡HEMOS DESCUBIERTO EL TRUCO!!! y en la práctica decimos:

- Realizamos una transposición de términos pasando a un miembro todos los términos que contienen la incógnita y al otro miembro los que no la contienen.

7x - 5x = 4 + 2

- Efectuamos operaciones en cada uno de los miembros para reducir los términos semejantes.

2x = 6

Dividimos los dos miembros por 2 para que la x quede despejada, "desaparece" el 2 del primer miembro y "aparece" dividiendo en el segundo

- Despejamos la incógnita y calculamos la solución.

La solución de la ecuación 7x -2 =5x + 4 es x =3.

¡No son trucos, aplicamos las propiedades de las igualdades, que son MATEMÁTICAS!

Aplica las propiedades de las igualdades para resolver la ecuación 3x+5=2x+7

3x+5=2x+7

3x+5–2x=2x+7–2x

x+5=7

x+5–5=7–5

x=2

## Actividad

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Mª Luisa Muñoz Paciencia
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