¿MAGIA? ¡NO, MATEMÁTICAS!

VERDADES DE PEROGRULLO

Vamos a explicar de dónde han salido las "recetas mágicas" del apartado anterior.

Para esto debemos reflexionar un poco sobre las propiedades de las igualdades, pues no debemos olvidar que una ecuación es una igualdad.

Estas propiedades son muy importantes y muy sencillitas de comprender.

1.-Si sumamos el mismo número (o la misma expresión) en los dos miembros de una igualdad, la igualdad permanece.

                        Ejemplo: 3 = 3 ¿verdad? y...¿3+5 = 3+5?  ¡Pues claro!

Esto tan sencillo es lo que me dice esta propiedad.

2.- Si restamos el mismo número (o la misma expresión) en los dos miembros de una igualdad, la igualdad permanece.

                         Ejemplo: 7 = 7 ¿verdad? y...¿7–5 = 7–5?  ¡Pues claro!

Esto tan sencillo es lo que me dice esta propiedad.

3.- Si multiplicamos por el mismo número  los dos miembros de una igualdad, la igualdad permanece.

                          Ejemplo: 5 = 5 ¿verdad? y...¿5·8 = 5·8?  ¡Pues claro!

Esto tan sencillo es lo que me dice esta propiedad.

4.- Si dividimos por el mismo número  los dos miembros de una igualdad, la igualdad permanece.

                          Ejemplo: 6 = 6 ¿verdad? y...¿6:3 = 6:3?  ¡Pues claro!

Esto tan sencillo es lo que me dice esta propiedad.

 

Ahora volvamos a las ecuaciones equivalentes.... 

Ecuaciones equivalentes

Las solución de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones que tienen la misma solución se denominan ecuaciones equivalentes.

Para obtener una ecuación equivalente a una dada se utilizan las siguientes propiedades de las igualdades:

a) Si sumamos o restamos un mismo número o una misma expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación obtenemos otra ecuación equivalente.

b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un mismo número diferente de cero obtenemos otra ecuación equivalente.

Por ejemplo, para obtener una ecuación equivalente a x+2=5 multiplicamos por 4 los dos miembros:

                   4(x+2)=4·5      4x+8=20

Fíjate en que la ecuación obtenida 4x+8=20 también tiene por solución 3. 

Resolución de ecuaciones 

 Para Resolver una ecuación vamos a despejar la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de los miembros. 

Observa como se procede para resolver la ecuación

7x - 2 =5x + 4

Me gustaría que desapareciera (5x) del segundo miembro, pues restamos 5x en los dos miembros de la igualdad

7X –2 –5X = 5X + 4 –5X

Si sumamos términos semejantes en cada miembro, parece que hemos pasado restando lo que estaba sumando (5x) y en el segundo miembro ha desaparecido (5x).

2x–2 = 4

Ahora me gustaría que desapareciera el (–2) del primer miembro, pues sumo 2 en los dos miembros de la ecuación:

2x–2+2=4+2

Si operamos parece que el 2 ha desaparecido en el primer miembro y aparece sumando en el segundo miembro. 

¡¡¡HEMOS DESCUBIERTO EL TRUCO!!!  y en la práctica decimos:

  •  Realizamos una transposición de términos pasando a un miembro todos los términos que contienen la incógnita y al otro miembro los que no la contienen. 

7x - 5x = 4 + 2

 

  •  Efectuamos operaciones en cada uno de los miembros para reducir los términos semejantes. 

2x = 6

 Dividimos los dos miembros por 2 para que la x quede despejada, "desaparece" el 2 del primer miembro y "aparece" dividiendo en el segundo

  • Despejamos la incógnita y calculamos la solución.

 

La solución de la ecuación 7x -2 =5x + 4  es  x =3.

 ¡No son trucos, aplicamos las propiedades de las igualdades, que son MATEMÁTICAS!

 

 

Aplica las propiedades de las igualdades para resolver la ecuación 3x+5=2x+7

Actividad

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